Statistika və məlumat təhlilində iki fərqli qrupun orta qiymətlərini müqayisə etmək üçün müxtəlif metodlar mövcuddur. Bu metodlardan ikisi “İki Nümunəli T Testi” və “Mann Whitney U Testi”dir. Hər iki test qruplar arasında fərqlilikləri müəyyən etmək üçün istifadə olunur, lakin onlar fərqli statistik yanaşmalara əsaslanır. Bu məqalədə hər iki testin nə olduğunu, necə işlədiyini və hansı hallarda istifadə olunduğunu araşdıracağıq.
İki Nümunəli T Testi
İki nümunəli T testi iki qrupun ortalama qiymətlərini müqayisə etmək üçün istifadə olunur. Bu test, qrupların normal paylanma qəbul edildiyi hallarda effektivdir. T testi əsasən aşağıdakı addımlarla aparılır:
- Hipotezlərin Qoyulması:
- Null hipotezi (H0): İki qrup arasında fərq yoxdur (µ1 = µ2).
- Alternativ hipotez (H1): İki qrup arasında fərq vardır (µ1 ≠ µ2).
2. Test Statistikası: Test statistikası (t-qiymət) aşağıdakı formula ilə hesablanır:
3. P-Dəyərinin Hesablanması: T-qiyməti əsasında p-dəyəri hesablanır. P-dəyəri, null hipotezinin doğru olduğu fərziyyəsi altında test statistikası dəyərinin əldə edilməsi ehtimalını göstərir.
4. Qərar: Əgər p-dəyəri seçilmiş əhəmiyyət səviyyəsindən (məsələn, 0.05) kiçikdirsə, null hipotezi rədd edilir və qruplar arasında fərq olduğu qəbul edilir.
Məsələn, Məktəb A və Məktəb B-dəki tələbələrin riyaziyyat imtahan nəticələrini müqayisə edirik. Məktəb A-dakı tələbələrin ortalama balı 75, Məktəb B-də isə 80-dir. Hər iki qrup üçün standart sapma 10-dur, və Məktəb A-da 10 tələbə, Məktəb B-də isə 12 tələbə var.
Simvollar:
- X̄1: Məktəb A-dakı tələbələrin ortalama imtahan balı (75)
- X̄2: Məktəb B-dakı tələbələrin ortalama imtahan balı (80)
- sp: Hər iki qrup üçün birləşdirilmiş standart sapma (10)
- n1: Məktəb A-dakı tələbələrin sayı (10)
- n2: Məktəb B-dakı tələbələrin sayı (12)
Hesablama: t = (75–80) / (10 * sqrt((1/10) + (1/12)))
İlk olaraq, paylayıcı məxrəc üçün kök daxilindəki ifadəni hesablayırıq:
- sqrt((1/10) + (1/12)) = sqrt(0.1 + 0.0833) = sqrt(0.1833) ≈ 0.428
Sonra t-dəyərini hesablayaq:
- t = (-5) / (10 * 0.428) ≈ -1.17
Nəticə: Bu t-dəyəri ilə testin p-dəyərini tapa bilərik. Əgər p-dəyəri 0.05-dən kiçikdirsə, null hipotezi rədd edilir və deyilir ki, Məktəb A və Məktəb B tələbələrinin riyaziyyat imtahan nəticələri arasında əhəmiyyətli bir fərq var. Əks halda, fərq əhəmiyyətli deyil.
Mann Whitney U Testi
Mann Whitney U testi isə iki qrup arasında median fərqlərini müqayisə etmək üçün istifadə olunur. Bu test, qrupların normal paylanma tələb etməməsi ilə T testindən fərqlənir və qeyri-parametrik metodlar sinifinə aiddir. Testin addımları aşağıdakılardır:
- Hipotezlərin Qoyulması:
- Null hipotezi (H0): İki qrup arasında median fərqi yoxdur.
- Alternativ hipotez (H1): İki qrup arasında median fərqi vardır.
2. Reytinq Vermə: Bütün nümunələr birlikdə sıralanır və hər bir nümunəyə reytinq (dərəcə) verilir.
3. U Statistikası: U statistikası aşağıdakı formula ilə hesablanır:
4. P-Dəyərinin Hesablanması: U-qiyməti əsasında p-dəyəri hesablanır. Bu dəyər, null hipotezinin doğru olduğu fərziyyəsi altında U statistikası dəyərinin əldə edilməsi ehtimalını göstərir.
5. Qərar: Əgər p-dəyəri seçilmiş əhəmiyyət səviyyəsindən (məsələn, 0.05) kiçikdirsə, null hipotezi rədd edilir və qruplar arasında median fərq olduğu qəbul edilir.
Məsələn, İki qrupun (A və B) məhsuldarlıq ballarını müqayisə edirik. A qrupunda 8 işçi, B qrupunda isə 7 işçi var. Reytinqləri aşağıdakı kimidir:
- A qrupunun reytinqləri: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15
- B qrupunun reytinqləri: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14
Simvollar:
- n1: A qrupundakı işçilərin sayı (8)
- n2: B qrupundakı işçilərin sayı (7)
- R1: A qrupunun sıralanmış reytinqlərinin cəmi (R1 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64)
Hesablama:
- U = 8 * 7 + (8 * (8 + 1) / 2) — 64
- U = 56 + (8 * 9 / 2) — 64
- U = 56 + 36–64 = 28
Nəticə: Bu U dəyəri ilə p-dəyərini hesablamaq olar. Əgər p-dəyəri 0.05-dən kiçikdirsə, null hipotezi rədd edilir və iki qrup arasında median fərqi olduğu qəbul edilir. Əks halda, fərq əhəmiyyətli deyil.
Mann-Whitney U Testində Minimum və Maksimum U Statistikalarının İstifadəsi
Mann-Whitney U testində iki qrupun (a və b) arasında U statistikası hesablanarkən həm minimum (U1), həm də maksimum (U2) U statistikaları çıxarılır. Python-da, məsələn, scipy.stats.mannwhitneyu funksiyasında, nəticə olaraq minimum U statistikası seçilir, çünki bu, qruplar arasındakı fərqi daha dəqiq göstərir və testin əsas nəticəsi kimi istifadə olunur.
Maksimum U statistikası isə spesifik hallarda və əlavə analizlərdə istifadə oluna bilər:
- Nəzəri təhlillərdə: Araşdırmaçılar maksimum və minimum U statistikalarını müqayisə edərək fərqləri daha dərindən analiz edə bilərlər.
- Əlavə analizlər: Bəzi tədqiqatçılar hər iki statistikaya baxaraq, qruplar arasındakı fərqlərin tam mənzərəsini əldə etməyə çalışa bilərlər.
- Statistik proqramlarda: R kimi statistik proqramlarda hər iki statistika hesablana bilər, lakin əsas analizdə minimum U statistikası istifadə olunur.
- İstisnai hallarda: Qruplar arasında ciddi asimmetriya olduqda, maksimum U statistikası fərqli nəticələr verə bilər və spesifik tədqiqat suallarını cavablandırmaq üçün nəzərə alına bilər.
İki Testin Müqayisəsi
- Paylanma Tələbi: İki nümunəli T testi normal paylanma tələb edir, Mann Whitney U testi isə qeyri-parametrik olduğu üçün belə bir tələb yoxdur.
- Hədəf Metod: T testi qrupların ortalamalarını, Mann Whitney U testi isə medianalarını müqayisə edir.
- Həssaslıq: T testi ekstremal dəyərlərə daha həssasdır, Mann Whitney U testi isə daha davamlıdır.
Nəticə
İki nümunəli T testi və Mann Whitney U testi statistik təhlildə fərqli hallarda istifadə olunan alətlərdir. Hansı testin seçiləcəyi, verilmiş məlumatların paylanma xüsusiyyətlərinə və araşdırma məqsədlərinə bağlıdır. Normal paylanma qəbul edilə bilməyən hallarda Mann Whitney U testi daha uyğun bir seçim ola bilər. Hər iki testin düzgün tətbiqi ilə qruplar arasındakı fərqləri dəqiq müəyyən etmək mümkündür.
İstinadlar
- McDonald, J. H. (2014). Handbook of Biological Statistics (3rd ed.).
- Siegel, S., & Castellan, N. J. (1988). Nonparametric Statistics for the Behavioral Sciences (2nd ed.).
