1. Bernoulli Paylanması (Bernoulli distributions)
Bernoulli paylanması, yalnız iki nəticəyə malik olan bir təcrübəni modelləşdirmək üçün istifadə olunur. Bu nəticələr adətən “uğur” (1) və “uğursuzluq” (0) olaraq adlandırılır. Uğur ehtimalı p ilə göstərilir və 0≤p≤1 aralığında bir qiymət alır.
* Ehtimal Kütləsi Funksiyası:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as snsp
import numpy as np
def bernoulli_pmf(x, p):
return p**x * (1-p)**(1-x)
# Nümunə istifadə
p = 0.6 # Uğur ehtimalı
print(f"P(X=1) = {bernoulli_pmf(1, p):.3f}") # Uğur ehtimalı
print(f"P(X=0) = {bernoulli_pmf(0, p):.3f}") # Uğursuzluq ehtimalı
2. Böyük Saylar Qanunu (Law of Large Numbers)
Böyük Saylar Qanunu, statistikada müstəqil və eyni paylanmaya malik təsadüfi dəyişənlərin ortalamasının, nümunə sayı artdıqca, gözlənilən dəyərə yaxınlaşacağını bildirir.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Parametrlər
p = 0.6 # Uğur ehtimalı
n_trials = 10000 # Cəmi denəmə sayı
# Təsadüfi ədədləri istehsal et
data = np.random.binomial(1, p, n_trials)
# Ortalamaları hesabla
cumulative_average = np.cumsum(data) / (np.arange(1, n_trials + 1))
# Gözlənilən dəyər xəttini əlavə et
expected_value = np.full(n_trials, p)
# Qrafik
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(cumulative_average, label='Cəmi Ortalamalar', color='blue')
plt.plot(expected_value, label='Gözlənilən Dəyər (p)', color='red', linestyle='--')
plt.title('Böyük Saylar Qanunu')
plt.xlabel('Denəmə Sayısı')
plt.ylabel('Ortalamalar')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()
* Nəticə
- Bu kod, Böyük Saylar Qanununun necə işlədiyini vizuallaşdırır. Nümunə sayı artdıqca, ortalama p-ya yaxınlaşır. Bu, Böyük Saylar Qanununun əsas prinsiplərindən biridir.
3. Binom Paylanması (Binomial distribution)
Binom paylanması, müəyyən sayda denəmə nəticəsində uğur sayını modelləşdirmək üçün istifadə olunur. Binom paylanması, Bernoulli paylanmasının bir neçə dəfə təkrarlanmasıdır.
Burada:
- n — denəmə sayı
- k — uğurlu nəticələrin sayı
- p — hər bir dənəmədə uğur olma ehtimalı
from scipy.stats import binom
# Binom dağılımı parametrləri
n = 10 # Denəmə sayı
p = 0.5 # Uğur olasılığı
# Olasılıqları hesablama
x = np.arange(0, n+1)
y = binom.pmf(x, n, p)
# Qrafik
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.bar(x, y, color='orange', alpha=0.7)
plt.title('Binom Dağılımı Qrafiki')
plt.xlabel('Uğur Sayısı')
plt.ylabel('Olasılıq')
plt.xticks(x)
plt.grid(axis='y')
plt.show()
* Açıqlama
- Bu kod, binom paylanmasının ehtimal kütlə funksiyasını vizuallaşdırır. Uğur sayının (0-dan 10-a qədər) ehtimalları bar qrafikində göstərilir. Binom paylanması, müəyyən sayda denəmə nəticəsində uğur sayını analiz etmək üçün geniş istifadə olunur, məsələn, anket nəticələrinin analizi, istehsal xətası ehtimalları və s.
4. Geometrik Paylanma (Geometric distribution)
Geometrik paylanma, bir uğurun baş verməsi üçün lazım olan denəmə sayısını modelləşdirir. Bu paylanma, ilk uğurun baş verdiyi denəmənin sayısını göstərir.
* Ehtimal Kütləsi Funksiyası:
Nümunə Sual:
- Bir futbolçunun penalti vurduğu zaman qol vurma ehtimalı %30-dur. Futbolçunun ilk dəfə 3-cü penaltidə qol vurma ehtimalı nədir?
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
# Parametrlər
p = 0.3 # Qol vurma ehtimalı
k = 3 # İlk qolun vurulduğu cəhd sayı
# Geometrik paylanma ehtimalını hesablamaq üçün formul: (1 - p)^(k-1) * p
ehtimal = (1 - p)**(k - 1) * p
# Ehtimalı yazdırma
print(f"Futbolçunun ilk dəfə 3-cü penaltidə qol vurma ehtimalı: {ehtimal:.4f}")
5. Poisson Paylanması (Poisson distribution)
Poisson paylanması, müəyyən bir zaman dilimində baş verən hadisələrin sayını modelləşdirmək üçün istifadə olunur. Bu paylanma, nadir hadisələrin baş verməsi üçün uygundur.
* Ehtimal kütləsi funksiyası
Burada:
- λ — hadisələrin gözlənilən sayısıdır.
from scipy.stats import poisson
# Poisson paylanması parametreleri
lambda_ = 3 # Hadisələrin gözlənilən sayı
# Ehtimalları hesablama
x = np.arange(0, 10)
y = poisson.pmf(x, lambda_)
# Qrafik
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.bar(x, y, color='green', alpha=0.7)
plt.title('Poisson Dağılımı Qrafiki')
plt.xlabel('Hadisə Sayısı')
plt.ylabel('Olasılıq')
plt.xticks(x)
plt.grid(axis='y')
plt.show()
Qrafikin İzahı
- Poisson paylanmasının qrafiki, hadisə sayısının ehtimalını göstərir. X oxu, hadisə sayısını (0-dan 9-a qədər) təmsil edir. Y oxu, hər bir hadisə sayısının ehtimalını göstərir.
- Qrafik, λ parametrindən asılı olaraq fərqli formalar ala bilər. Əgər λ kiçikdirsə, qrafik sağa əyilmiş olacaq, əks halda sola əyilmiş olacaq.
6. Normal Paylanma (Normal distribution)
Normal paylanma, bir çox təbii hadisənin paylanmasını təmsil edir. Bu paylanma, simmetrik bir forma malikdir və orta qiymət etrafında toplanır.
* Ehtimal Sıxlıq Funksiyası:
Burada:
- μ — orta qiymət (mean)
- σ — standart sapma (standard deviation)
- e — təbii loqarifm əsası (2.71828…)
# Normal paylanma parametrləri
mu, sigma = 0, 1 # Orta qiymət və standart sapma
# Paylanmanı yaratma
x = np.linspace(mu - 4*sigma, mu + 4*sigma, 1000)
y = (1 / (sigma * np.sqrt(2 * np.pi))) * np.exp(-0.5 * ((x - mu) / sigma) ** 2)
# Qrafik
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x, y, label='Normal Paylanma', color='blue')
plt.title('Normal Paylanma Qrafiki')
plt.xlabel('Dəyərlər')
plt.ylabel('Ehtimal Sıxlığı')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()
Açıqlama
- Normal dağılımın olasılıq sıxlıq funksiyası, orta qiymət və standart sapma parametrləri ilə təyin olunur. Yuxarıdakı kod, bu düsturdan istifadə edərək normal dağılımın qrafikini çəkir. Normal paylanmanın qrafiki, zvonoşəkilli bir əyri formasına malikdir. Əyrinin eni, standart sapma σ ilə tərs mütənasibdir. Yəni, σ artdıqca, əyri genişlənir.
7. Standart Normal Paylanma (Standard Normal Distribution)
Standart normal paylanma, normal paylanmanın xüsusi bir halıdır. Bu paylanmada orta qiymət 0, standart sapma isə 1-dir.
Burada:
- μ — orta qiymət (ortalama)
- σ — standart sapma
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Parametrlər
mu = 0 # Orta qiymət
sigma = 1 # Standart sapma
n = 1000 # İstehsal ediləcək ədədlərin sayı
# Təsadüfi ədədlərin istehsalı
data = np.random.normal(mu, sigma, n)
# Histogramın çəkilməsi
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.hist(data, bins=30, density=True, alpha=0.6, color='g')
# Normal paylanmanın sıxlıq funksiyasının əlavə edilməsi
xmin, xmax = plt.xlim()
x = np.linspace(xmin, xmax, 100)
p = (1 / (sigma * np.sqrt(2 * np.pi))) * np.exp(-0.5 * ((x - mu) / sigma) ** 2)
plt.plot(x, p, 'k', linewidth=2)
plt.title('Normal Paylanma Histogramı')
plt.xlabel('Dəyərlər')
plt.ylabel('Ehtimal Sıxlığı')
plt.grid()
plt.show()
Qrafikin İzahı
- Histogram: Təsadüfi ədədlərin paylanmasını göstərir. Histogramda x oxu dəyərləri, y oxu isə ehtimal sıxlığını göstərir.
- Qara Əyri: Normal paylanmanın sıxlıq funksiyasıdır. Bu əyri, orta qiymət etrafında simmetrikdir və standart sapma ilə müəyyən edilir.
- Simmetrik Forma: Normal paylanmanın xarakterik xüsusiyyətidir. Əyri, orta qiymət etrafında simmetrikdir, yəni μ-dan sol və sağ tərəfdəki ehtimallar eynidir.
Bu funksiya, statistik analizlərdə və simulyasiyalarda geniş istifadə olunur, çünki bir çox təbii hadisələr normal paylanmaya tabe olur.
8. Binom Paylanmasının Normal Yaxınlaşması (Binomial Distribution Normal Approximation)
Binom paylanması, n denəmə sayı böyük olduqda normal paylanmaya yaxınlaşır. Bu, binom paylanmasının normal paylanma ilə yaxınlaşmasını təmin edir.
* Z Dəyişəni:
Burada:
- x — uğur sayısı (bu nümunədə 8),
- n — denəmə sayı (200),
- p — uğur ehtimalı (0.05),
- q=1−p — uğursuzluq ehtimalı.
import numpy as np
from scipy.stats import norm
# Parametrlər
n = 200 # Denəmə sayı
p = 0.05 # Uğur ehtimalı
q = 1 - p # Uğursuzluq ehtimalı
# Normal yaxınlaşma üçün orta və standart sapma
mu = n * p
sigma = np.sqrt(n * p * q)
# Uğur sayısı
x = 8 # Məsələn, 8 uğur sayısı
# Z dəyərinin hesablanması
z = (x - mu) / sigma
# Normal paylanmanın CDF-sini hesabla
p_upper = norm.cdf(z)
# Nəticələri çap et
print(f"Mean (μ): {mu:.4f}")
print(f"Standard Deviation (σ): {sigma:.4f}")
print(f"Z-skoru üçün x = {x}: {z:.4f}")
print(f"P(X ≤ {x}): {p_upper:.4f}")
Nəticələr
Bu kodu işlətdikdə, aşağıdakı nəticələri alacaqsınız:
- Orta (μ): 10
- Standart Sapma (σ): 3.06
- Z-skoru: -0.65
- P(X ≤ 8): 0.2578 (təxminən)
Bu, binom paylanmasının normal yaxınlaşması nəticəsində z dəyərinin necə hesablandığını və nəticələrin necə əldə edildiyini göstərir.
