Lütfi Zadənin Qeyri-Səlis Çoxluqlar Nəzəriyyəsi: Riyaziyyat, Məntiq və İnsan Təfəkkürünün Kəsişməsi

Lütfi Zadənin qeyri-səlis çoxluqlar nəzəriyyəsi nədir, Aristotel məntiqi ilə fərqi nədən ibarətdir, mənsubiyyət funksiyası necə işləyir? Bu ətraflı baqda bütün suallarınıza cavab tapacaqsınız.

XX əsrin ən fundamental elmi kəşflərindən biri şübhəsiz ki, azərbaycanlı alim Lütfi Zadənin qeyri-səlis çoxluqlar nəzəriyyəsidir. 1965-ci ildə elmə daxil edilən bu nəzəriyyə bu gün Yaponiya, Almaniya, ABŞ, Çin, Rusiya və onlarca digər ölkədə beynəlxalq konfranslarda, simpoziumlarda geniş müzakirə edilməkdə, süni zəkadan sənayeyə qədər geniş tətbiq sahəsi tapmaqda davam edir. Bəs bu nəzəriyyə nədir? Nə üçün dünya alimlərinin diqqətini belə güclü şəkildə çəkir? Aristotel məntiqi ilə müqayisədə onun üstünlüklərini nə təşkil edir?

Qeyri-Səlis Çoxluqlar Nəzəriyyəsi Nədir?

Lütfi Zadənin qeyri-səlis çoxluqlar nəzəriyyəsini anlamaq üçün əvvəlcə onun kökündən çıxdığı Georq Kantoru çoxluqlar nəzəriyyəsinə qısaca nəzər salmaq lazımdır.

Kantor Çoxluqlar Nəzəriyyəsindən Zadəyə Keçid Necə Oldu?

XIX əsrdə məşhur alman riyaziyyatçısı Georq Kantor tərəfindən yaradılmış klassik çoxluqlar nəzəriyyəsi riyaziyyatda yeni bir dövrün əsasını qoydu. Kantor göstərdi ki, bütün riyazi əməliyyatları çoxluqlar üzərində aparılan əməliyyatlar kimi təsvir etmək mümkündür. Bu elə möhtəşəm bir sistemdir ki, orada bütün riyaziyyat yerləşə bilir. Lakin Kantor nəzəriyyəsinin ciddi bir məhdudiyyəti var idi: bu nəzəriyyəyə görə hər bir elementin çoxluğa münasibəti yalnız iki halda mümkün idi — ya daxildir, ya da xaricdir. Aralıq vəziyyət nəzərdə tutulmurdu.

Məhz bu məhdudiyyəti aşmaq üçün Lütfi Zadə 1965-ci ildə “Fuzzy Sets” (“Qeyri-Səlis Çoxluqlar”) adlı tarixi məqaləsini dərc etdirdi. Bu məqalə ilə elmə yeni bir paradigma daxil oldu: bir elementin çoxluğa tam daxil olması da, tam xaric olması da, həm də hər ikisi arasında yerləşən hər hansı bir dərəcədə daxil olması da mümkündür.

“Qeyri-Səlis” Termini Niyə Bu Adı Daşıyır?

Bu, nəzəriyyə ilə bağlı ən çox müzakirə edilən məsələlərdən biridir. “Qeyri-səlis” ifadəsini eşidən bəzi alimlər nəzəriyyənin özünün də qeyri-dəqiq, qeyri-elmi olduğunu güman etmişlər. Halbuki bu yanlış bir qənaətdir.

Həqiqət belədir: “qeyri-səlis” ifadəsi nəzəriyyənin özünü deyil, onun tədqiq etdiyi obyektləri — çoxluqları, anlayışları, prosesləri xarakterizə edir. Nəzəriyyənin özü isə kifayət qədər dəqiq, səlis və elmidir. Bu həqiqəti Lütfi Zadənin özü də 2008-ci ildə Bakıda AMEA-da çıxışı zamanı etiraf etmişdir. O bildirmişdir ki, ingilis dilindəki “fuzzy” sözü həmin çoxluqların mahiyyətini əks etdirdiyi üçün seçilmiş, lakin sonradan nəzəriyyəyə də eyni ad verilmişdir. Azərbaycan dilinə “qeyri-səlis” kimi professor Rafiq Əliyev tərəfindən tərcümə edilmişdir.

Mənsubiyyət Funksiyası Nədir və Necə İşləyir?

Qeyri-səlis çoxluqlar nəzəriyyəsinin ürəyini, əsas aparatını mənsubiyyət funksiyası təşkil edir. Bütün Zadə nəzəriyyələri məhz bu funksiya üzərində qurulmuşdur.

Mənsubiyyət Funksiyasını Riyazi Olaraq Necə İfadə Etmək Olar?

Mənsubiyyət funksiyası universumun hər bir elementinin müəyyən çoxluğa daxil olma dərəcəsini göstərən bir funksiyादır. Bu dərəcə [0, 1] intervalında hər hansı bir həqiqi ədəd ola bilər:

• μ(x) = 1 — element çoxluğa tam daxildir
• μ(x) = 0 — element çoxluğa daxil deyildir
• 0 < μ(x) < 1 — element çoxluğa müəyyən dərəcədə daxildir

Formal olaraq, X universumdakı A qeyri-səlis çoxluğu aşağıdakı kimi yazılır:

A = {(x, μ_A(x)) | x ∈ X}

burada μ_A : X → [0,1] mənsubiyyət funksiyasıdır.

Mənsubiyyət funksiyası xətti, qeyri-xətti, kəsilən ya kəsilməz ola bilər. Praktiki hesablamalarda ən geniş istifadə olunan formalar bunlardır:

• Üçbucaq forması (triangular)
• Trapes forması (trapezoidal)
• Zəngvari (Qaus) forması
• S-əyri forması

İnsan ətraf dünyanı dərk etdikcə, bilik qazandıqca bu funksiyalar daha dəqiq qiymətlər alır. Ekspertlər — hər hansı bir sahədə dərin biliyə malik şəxslər — digər insanlara nisbətən daha dəqiq mənsubiyyət funksiyalarına malikdir.

Qeyri-Səlis Çoxluqların Əsas Anlayışları Hansılardır?

Universum Nədir?

Universum — müəyyən bir problemin həlli üçün nəzərə alınan bütün mümkün elementlər çoxluğudur. Lütfi Zadə öz nəzəriyyəsini məhz bu başlanğıc anlayış üzərində qurmuşdur. Məsələn, universitetdə ən yaxşı tələbəni axtarırsınızsa, universum bütün universitet tələbələrini əhatə edir; qrupda axtarırsınızsa — yalnız qrup tələbələrini.

Sinqlton Nədir?

Sinqltonlar — universumun bölünməz, ən kiçik elementləridir. Mənsubiyyət funksiyası isə bu sinqltonları bir çoxluq halında birləşdirən vasitədir. Məsələn, “dostlar” çoxluğunda tanıdığımız hər bir insan sinqltondur. Yaxın dostlar üçün mənsubiyyət funksiyası μ = 1, bir qədər uzaq dostlar üçün μ = 0.9, nisbətən daha uzaq dostlar üçün μ = 0.8 və s. qiymətlər alır.

Qeyri-Səlis Çoxluğun Nüvəsi Nədir?

Qeyri-səlis çoxluğun mənsubiyyət dərəcəsi 1-ə bərabər olan elementlərin toplusu həmin çoxluğun nüvəsi adlanır. Mənsubiyyət dərəcəsi 0 ilə 1 arasında yerləşən elementlər isə sərhəd elementləri adlanır.

Praktiki Misallarla Qeyri-Səlis Çoxluqlar: “Azərbaycanlılar” Çoxluğu

Nəzəriyyəni daha yaxşı anlamaq üçün konkret bir misala baxaq. “Dünya azərbaycanlıları” çoxluğunu götürək. Bu çoxluq üçün universum dünyanın bütün 8 milyard əhalisindən ibarətdir.

• Birinci qrup: Azərbaycanlılarla heç bir qohumluq əlaqəsi olmayan insanlar (ingilislər, fransızlar və s.) → μ = 0
• İkinci qrup: Tam azərbaycanlı, başqa millətlərlə qohumluq əlaqəsi olmayanlar → μ = 1
• Üçüncü qrup: Nəsillərində müxtəlif millətlərin iştirak etdiyi insanlar → 0 < μ < 1

Məsələn, anası rus, atası azərbaycanlı olan biri üçün: μ = 0.5 (½). Atası və anası azərbaycanlı, lakin nənəsi rus olan biri üçün: μ = 0.75 (¾). Bu misaldan aydın görünür ki, qeyri-səlis çoxluqlar real həyatda mövcud olan çoxluqlardır.

Aristotel Məntiqi ilə Fuzzy Məntiq Arasındakı Fərq Nədir?

Bu sual nəzəriyyənin ən çox müzakirə edilən aspektlərindən biridir.

Aristotel Binar Məntiqi Nəyi Öyrənir?

Aristotelin klassik binar məntiqi dünyanı iki rənglə görür: hər şey ya “doğru”, ya da “yalan”dır; hər element ya çoxluğa “daxildir”, ya da “daxil deyildir”. Bu məntiqə görə bir cisim eyni zamanda həm böyük, həm də kiçik ola bilməz. “Əli mənim dostumdur” ya doğrudur, ya da yanlış. Araçı hal yoxdur.

Aristotel məntiqi lineer, formal xarakter daşıyır və anlayışların kəmiyyət dərəcələrini nəzərə almır. Bu məntiqə görə “qırmızı” ancaq qırmızıdır, “qara” ancaq qaradır.

Fuzzy Məntiq Nə Kimi Fərqlənir?

Lütfi Zadənin qeyri-səlis məntiq nəzəriyyəsində isə eyni bir anlayışın müxtəlif məna çalarları, müxtəlif kəmiyyət xarakteristikaları nəzərə alınır. “Əli mənim dostumdur” ifadəsinin bir neçə versiyası mümkündür:

• “Əli mənim ən yaxın dostumdur” → μ = 1.0
• “Əli mənim dostlarımdan biridir” → μ = 0.7
• “Əli mənim uzaq dostumdur” → μ = 0.3

Fuzzy məntiq qeyri-xətti dünyanı öyrənir; Aristotel məntiqi isə xətti, sadə dünyanı. Bununla birlikdə hər iki nəzəriyyə həqiqəti əks etdirir. Aralarındakı fərq yanaşma metodundadır: Aristotel məntiqi daha kobud, sadə model olduğu halda, Zadə məntiqi daha zəngin, dəqiq və adekvat bir modeldir. Əslində Aristotel məntiqi Zadə məntiqinin xüsusi halıdır — μ yalnız 0 və ya 1 aldıqda fuzzy məntiq klassik Aristotel məntiqi ilə üst-üstə düşür.

Ehtimal Nəzəriyyəsi ilə İmkanlar Nəzəriyyəsi Arasındakı Fərq Nədir?

Lütfi Zadə məntiqini tez-tez ehtimal nəzəriyyəsi ilə qarışdırırlar. Bu iki nəzəriyyə isə əsaslı şəkildə fərqlənir.

Ehtimal nəzəriyyəsi — hadisənin baş verə bilmə tezliyini qiymətləndirir. 300 illik tarixi olan bu nəzəriyyə statistik məlumatlara əsaslanır.

İmkanlar nəzəriyyəsi (Zadə tərəfindən 1970-ci illərdə yaradılmışdır) — hadisənin insan təsəvvürünə görə paylanma imkanlarını tədqiq edir.

Misalla izah edək: bir seminara “ağ saçlı, orta bilik səviyyəsinə malik müəllim” gəlməlidir.

• Ehtimal nəzəriyyəsi soruşur: bu müəllim gələcəkmi?
• İmkanlar nəzəriyyəsi soruşur: bu müəllim nə dərəcədə ağ saçlıdır, bilik səviyyəsi “orta”ya nə qədər uyğundur?

Başqa bir nümunə: zərin 6 düşmə ehtimalı klassik nəzəriyyəyə görə 1/6-dır. Lakin bu yalnız zər tam simmetrik olduqda doğrudur. Əslində bu ədəd “qeyri-səlis 1/6″dır — yəni haradasa 1/6 ətrafındadır.

İkinci Növ Qeyri-Səlis Çoxluqlar Nədir?

Lütfi Zadənin ən möhtəşəm kəşflərindən biri ikinci növ qeyri-səlis çoxluqlar anlayışıdır. Bu konsepsiyaya görə, qeyri-səlis çoxluqlardakı elementlərin mənsubiyyət dərəcələrinin özləri də qeyri-səlis çoxluqlardan ibarət ola bilər.

Sadə dillə desək: “Həsən mənim dostumdur” deyəndə, Həsən qeyri-səlis “dostlar” çoxluğuna daxildir. Lakin bu daxil olma dərəcəsinin özü də qeyri-müəyyəndir və qeyri-səlis çoxluqla ifadə olunur.

Bu anlayışı insan danışıq dilindəki söz şəkilçiləri vasitəsilə ifadə edirik:

• “Həsən mənim çox yaxın dostumdur”
• “Həsən mənim bir az dostumdur”
• “Həsən mənim demək olar ki, dostumdur”

Bu şəkilçilər — “lap”, “çox”, “bir az”, “demək olar ki,”, “təxminən”, “həddən artıq” — əslində mənsubiyyət dərəcəsini dəyişdirən qeyri-xətti operatorlardır. İkinci növ qeyri-səlis çoxluqlar insan beynindəki qeyri-müəyyənlikləri birinci növ çoxluqlara nisbətən daha dəqiq modelləşdirməyə imkan verir.

Z Ədədləri — Lütfi Zadənin Son Böyük Kəşfi Nədir?

Ömrünün sonlarında Lütfi Zadə elmə yeni və mükəmməl bir anlayış daxil etdi: Z ədədləri. Bu, insan fikirlərinin daha dəqiq riyazi modeli idi.

İnsan hər hansı bir fikir söyləyərkən intuitivcəsinə iki şeyi qiymətləndirir:

1. Fikrin doğruluq dərəcəsi — bu fikir nə qədər doğrudur?
2. Əminlik (inam) dərəcəsi — mən bu fikirə nə qədər əminəm?

Məsələn, “O yaxşı insandır” ifadəsini götürək. Burada iki qeyri-müəyyənlik var: “yaxşılıq” dərəcəsi, və bunu söyləyən şəxsin əminlik dərəcəsi.

Z-ədədi bu iki qeyri-səlis ədəddən ibarət bir vektordur:

Z = (A, B)

burada A — fikrin doğruluq dərəcəsini, B — əminlik (inam) dərəcəsini ifadə edən qeyri-səlis ədədlərdir. Bu anlayış insan ünsiyyətindəki mürəkkəb qeyri-müəyyənlikləri riyazi dillə ifadə etməyə imkan yaradır.

Uyuşmazlıq Prinsipi — Mürəkkəb Sistemlər Üçün Nə Demək İstəyir?

Lütfi Zadənin ən qiymətli kəşflərindən biri uyuşmazlıq prinsipidir (incompatibility principle). Bu prinsip çox sadə, lakin dərin bir həqiqəti ifadə edir:

Sistemin mürəkkəblik səviyyəsi artdıqca, onun davranışı haqqında dəqiq fikir söyləmək bir o qədər çətinləşir. Müəyyən həddən sonra isə dəqiqlik və praktiki səmərə bir-birini inkar edən xassələrə çevrilir.

Sadə nümunə: iki şəhər arasında hava xətti qurulanda, şəhərlərarası məsafənin millimetr dəqiqliyi ilə verilməsinin heç bir praktiki mənası yoxdur. Dəqiqlik sistemin mürəkkəbliyinə görə nisbidir.

Bu prinsip göstərir ki, klassik riyaziyyatın yetərli olmadığı yerdə — mürəkkəb, özünütəşkiledən, qeyri-xətti sistemlərdə — fuzzy riyaziyyat daha adekvat nəticələr verir.

Fuzzy Nəzəriyyəsi Engelin Hərəkət Formaları ilə Necə Əlaqəlidir?

Məqalənin müəllifləri Əziz Məmmədov və Fuad Qurbanov nəzəriyyənin əsas fəlsəfi mahiyyətini F. Engelsin hərəkət formalarının təsnifatı ilə əlaqələndirirlər. Engels hərəkətin 5 formasını mürəkkəblik ardıcıllığı ilə sıralamışdır:

1. Mexaniki hərəkət
2. Fiziki hərəkət
3. Kimyəvi hərəkət
4. Bioloji hərəkət
5. Sosial hərəkət

Klassik riyaziyyat yalnız aşağı səviyyəli formaları (mexaniki, fiziki, kimyəvi) effektiv şəkildə öyrənə bilir. Daha mürəkkəb formaları — bioloji prosesləri, insan təfəkkürünü, sosial hadisələri — isə onun vasitəsilə adekvat modelləşdirmək mümkün deyildir. Qeyri-səlis çoxluqlar nəzəriyyəsi isə məhz hərəkətin bu yüksək formalarını öyrənmək üçün daha rasional və adekvat nəzəriyyədir.

İnsan Hansı Məntiqə Görə Düşünür — Aristotel, Yoxsa Zadə?

Bu, Zadə nəzəriyyəsinin ən maraqlı fəlsəfi suallarından biridir. Bəzi mütəxəssislər insanların Aristotel məntiqi ilə düşündüyünü iddia edir. Lakin müəlliflər bu fikri rədd edirlər.

Əgər insanlar yalnız binar (0 ya 1) məntiqə görə düşünsəydilər, öz yaxın adamlarını bir-birindən fərqləndirə bilməzdilər — çünki onların hamısının mənsubiyyət dərəcəsi “1” olardı. Halbuki reallıqda insanlar “ən yaxın dost”, “köhnə dost”, “iş dostu”, “az-çox tanış” kimi incə fərqləri hiss edir və onlara görə qərar qəbul edirlər.

Yekun qənaət budur: insan məntiqinə mövcud bütün modellər içərisində ən yaxın olan şübhəsiz ki, L. Zadə məntiqidir. Hazırda Yaponiya, ABŞ və bir sıra qabaqcıl ölkələrdə Zadə məntiqi ilə düşünən robotlar da hazırlanmaqdadır.

Fikrin Sözlərlə Approksimasiyası Nədir?

Bu nəzəriyyənin ən dərin fəlsəfi müddəalarından biri “fikrin sözlərlə approksimasiyası” anlayışıdır.

Hər insan ömrü boyu sonlu sayda anlayışlar sisteminə yiyələnir. Lakin dünyadakı hadisələrin sayı kontinium güclüdür — yəni sonsuz dərəcədə çox. Deməli, insan hər bir hadisəni öz yaddaşındakı baza anlayışlarına müəyyən dərəcədə uyğunlaşdıraraq dərk etməlidir. Bu prosesdə məhz fuzzy məntiq işə düşür.

Bir fikri sözlə ifadə edərkən isə insan öz düşüncəsini söz ehtiyatı vasitəsilə approksimasiya edir. Bu approksimasiyanın keyfiyyəti insanın bilik səviyyəsindən, söz ehtiyatından və dilin zənginliyindən asılıdır. Şair və yazıçıların fikirlərini daha dəqiq ifadə etməsi məhz bu prosesin daha inkişaf etmiş formasıdır. Sözlərin məna dairəsi isə qeyri-səlis çoxluqlar tərəfindən müəyyənləşdirilir.

Məşhur fizik Albert Eynşteyn bu məsələyə dair son dərəcə dəqiq bir fikir söyləmişdir: riyaziyyatın qanunları həqiqi dünyaya nə qədər yaxınlaşırsa, bir o qədər qeyri-müəyyən olur; nə qədər müəyyən olursa, bir o qədər reallığı əks etdirmir. L. Zadə nəzəriyyəsi isə bu paradoksu həll etmək üçün yaradılmış ən güclü riyazi sistemdir.

Lütfi Zadə Nəzəriyyəsi Haqqında Tənqidi Görüşlər Nə Deyir?

Hər böyük nəzəriyyə kimi Zadə nəzəriyyəsi də tənqidçisiz qalmamışdır. Berklidəki Kaliforniya Universitetinin professoru Uilyam Kahan bu nəzəriyyəni “elm üçün kokain” adlandırmış, onun qeyri-dəqiq düşüncəni təşviq edəcəyini iddia etmişdir.

Lakin bu tənqidlər nəzəriyyənin mahiyyətini tam anlamayan bir mövqedən irəli gəlir. Əslində fuzzy nəzəriyyəsinin məqsədi dəqiqliyi azaltmaq deyil — əksinə, qeyri-müəyyənlikləri daha dəqiq modelləşdirməkdir. Klassik riyaziyyatın gücsüz qaldığı yerdə fuzzy riyaziyyat daha adekvat nəticələr verir. O yerdə ki, klassik sistem prosesləri yalnız yuvarlaqlaşdıraraq öyrənə bilir, fuzzy sistem daha dəqiq modellər qurur. Başqa sözlə: bu nəzəriyyə mühakimələri qeyri-səlisləşdirmir, əksinə qeyri-səlis düşüncələri səlisləşdirir.

Qeyri-Səlis Nəzəriyyənin Tətbiq Sahələri Hansılardır?

Lütfi Zadə nəzəriyyəsi bu gün onlarca sahədə tətbiq olunur:

Süni zəka və maşın öyrənməsi — fuzzy məntiqi əsaslı ekspert sistemlər insanın qeyri-müəyyən qərar qəbul prosesini modelləşdirir. Sənaye avtomatikası — neft sənayesi, kimya istehsalı, robotexnika. İqtisadiyyat və maliyyə — risklərin qeyri-müəyyən mühitdə qiymətləndirilməsi. Tibb — diaqnozlaşdırma sistemlərinin qurulması. Dilçilik — insan dilinin riyazi modelləşdirilməsi. Mürəkkəb sosial sistemlər — cəmiyyətin davranış modellərinin öyrənilməsi.

Nəticə: Niyə Lütfi Zadə Nəzəriyyəsi Bu Qədər Vacibdir?

Lütfi Zadənin qeyri-səlis çoxluqlar nəzəriyyəsi riyaziyyat, məntiq və fəlsəfənin kəsişdiyi unikal bir nöqtədə durur. Bu nəzəriyyə insanın düşünmə prinsiplərini riyazi dillə ifadə etmək üçün bu günə qədər yaradılmış ən güclü alətdir. O, özündən əvvəl mövcud olmuş bütün riyazi sistemləri — Aristotel məntiqini, Kantorun çoxluqlar nəzəriyyəsini, interval analizini — öz daxilində ümumiləşdirmiş və genişləndirmişdir.